Pour que les racines soient réelles, il suffit que la circonfé¬ 
rence coupe réellement la courbe XYZ == — r, c’est-à-dire qu’il 
faut que la distance d’un des points de cette courbe où la tan¬ 
gente est parallèle à l’un des axes de coordonnées, à l’origine, 
soit moindre que le rayon de la circonférence. 
Or, si l’équation du troisième ordre est supposée ramenée à 
la forme ( a ), l’équation qui donne le rayon de la circonférence 
devient : 
ôs 2 -b iq = 0, 
d’où 
Z 1 = R= \/ , 
et le Z d’intersection de la courbe XYZ = r avec la droite 
X = Y est donné par l’équation : 
Z 5 -+- Ar = 0, 
d’où 
z 2 = 
et pour que 1 es trois racines soient réelles, on doit avoir 
Z 2 < 7j i ; donc 
Si Ton élève les deux membres à la sixième puissance, on 
trouve 
ou 
16r 2 <— 
64g 3 
TT 
1 
4g 5 -h 27r s < 0, 
condition bien connue. 
