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III. Equations de degré supérieur au quatrième. 
Arrêté en géométrie plane pour la résolution de l’équation 
générale du quatrième degré, nous nous sommes adressé à la 
géométrie à trois dimensions; pour le cinquième degré et 
pour les degrés supérieurs, une impossibilité analogue se 
manifeste, mais on ne peut plus lever la difficulté en prenant 
des polyèdres de référence à nombre de faces de plus en plus 
considérable, les coordonnées polyédriques n’étant pas indé¬ 
pendantes entre elles. En outre, sauf pour les équations dont 
le degré correspondra au nombre des faces de l’un des cinq 
polyèdres réguliers, la condition que donne le premier coeffi¬ 
cient de l’équation, entre les racines 
X x -f- X„ -4- . X n — - p, 
ne sera pas remplie par les coordonnées de tout point de 
l’espace, mais seulement par celles des points d’un plan dont 
l’équation polyédrique sera précisément 
Xj -+- Tj —H.*+■ X n = — p. 
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Si nous appliquons, dans ce cas, la méthode ordinaire, nous 
voyons qu’on devra construire autant de surfaces qu’il y a de 
coefficients dans l’équation ; par conséquent, à moins de con¬ 
ditions particulières remplies par ces coefficients, on n’ob¬ 
tiendra pas de points communs à toutes ces surfaces. Ainsi, 
au cinquième degré, il faudrait que les cinq surfaces : (1), (2), 
(3), (4), (o), eussent des points communs. 
X^ X 2 -+- X z - 4 - X ^ - 4 - X$ — — p .( 1 ) 
x 1 x i -^-x 2 x 3 -hx s x i -H ••• = q .(2) 
X t X 2 X~ -4- X 2 ■T Z X^ —U ■ • • = — T .(5) 
X l X 2 X z X i 4- X 2 X 5 XiX s = S .(4) 
= - t .(5) 
x l x 2 x z x i x 5 
