DU MOUVEMENT A CINQ CONDITIONS. 
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avec l’axe O x choisi, ainsi que O y et CD, comme dans le cas de 
l’hélice, un angle défini par la relation (analogue à celle qu’on 
déduit de (2)) : 
Dans ce déplacement infinitésimal, les droites normales aux 
trajectoires de tous leurs points forment un complexe linéaire 
caractérisé par l’équation (1) ou encore par celle-ci (déduite 
de (1) et (2)) : 
+ a — 0 . 
Pour le déplacement suivant, on a un autre complexe, ç et t 
ayant varié, et ainsi de suite. 
La question revient donc à chercher dans quel cas les com¬ 
plexes en nombre infini qui correspondent aux valeurs succes¬ 
sives de ç et de t ont une ou plusieurs droites communes, en 
dehors de celles qui correspondent aux valeurs 
p — q—a — 0, 
lesquelles sont les normales à la courbe (O) en O, ainsi que des 
parallèles à la bi-normale CD situées dans le plan rectifiant, qui 
sont fournies par des valeurs infinies de &, a étant nul, et p et q 
étant finis. 
Je dis que la condition cherchée est qu’il existe une relation 
1 1 
linéaire entre les courbures - et - de (O). 
ç T 
Si l’on suppose, en effet, que tous ces complexes aient une 
droite commune, l’équation (3) est vérifiée par des valeurs 
constantes et non toutes nulles de a, p, q. Par suite, il existe 
une relation linéaire entre les courbures. 
Réciproquement, supposons que l’on ait entre ces courbures 
une relation linéaire de la forme 
^ = C, 
C T 
où A, B, G désignent des constantes. 
