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Mettons pour x" et y" les valeurs obtenues tout à l’heure : 
tang (p' — f) = 
y'x' (1 — z 2 ) (k — z 2 ) — y'x'k (1 — z 2 ) (1— s' 2 ) 
y' 2 [k - z 2 ) X ,2 k (1 - z 2 ) 2 (1 - z' 2 ) 
faisant x' = 
* tfr: ’ résultant de tg ? = , il vient 
tang p (kz' 2 — s 2 ) 
tang (f - p) — —- 
tg“ P (k — s 2 ) -+- fe (1 - z' 2 ) 
(A) 
Si l’on remplace x' 2 par 8 • j a 2 (1 — e 2 ) — y’ 2 J, provenant de 
l’équation de l’ellipse, et x' par-^j,--^ , on trouve facilement 
tang (p'— f) = 
tang (f p) = 
1 
sin 2 p (A;' 2 — î 2 
tg p sin 2 p (ks' 2 -s 2 +kz* (1 -s' 2 ))-*- A: (1-c' 2 ) (1-s 2 sin 2 p) 
1 sin 2 p (kz' 2 — £ 2 ) 
tg p sin 2 p (A’î' 2 — z 2 ) -+- k (1 — z' 2 ) 
• (B) 
valeur qui peut se ramener à la première forme (A), en divisant 
haut et bas par cos 2 p. Elle se prête au développement en série 
tang (p' — p) = —— { 1 
tgp 
k (1 - s' 2 ) 
k 2 (1 - c' 2 ) 5 
sin 2 p (kz’ 2 - s 2 ) sin 4 p (te' 2 — î 2 ) 2 
— Le sinus du même angle <J — p, s’obtiendra en fonction des 
deux latitudes, par le triangle compris entre les normales et l’axe 
des abscisses 
sin (p'— p) = sin p. 
a' cos p (1 — z' 2 sin 2 p')a — a cos p' (1 — s 2 sin 2 p )2 
«' (1 — z' 2 ) cos p cos p' 
(1 - s' 2 sin 2 p')ï 
Les conséquences à en tirer sont les mêmes que tantôt 
?' - ? 
0 quand p = 0 et p' = 0 
» p = 90° et p' == 90° 
cr 
x 
! 2 
a 
— ou les normales superposées. 
eu 
