n’admire les profondes recherches effectuées dans ce sens; 
mais, appliquées à l’intégration des équations d’ordre quel¬ 
conque (question qu’elles ne résolvent pas, bien entendu), 
elles négligent trop les propriétés spéciales des équations 
linéaires d’ordre inférieur, dont la résolution serait déjà un 
progrès immense pour l’Analyse, stationnaire sous ce rapport 
depuis un siècle. 
L’Académie royale de Belgique espérait contribuer à la réa¬ 
lisation de ce progrès en mettant au concours, pour 188o, la 
question de l’intégration des équations linéaires du second 
ordre (*). 
Je tiens à faire observer que cet espoir n’était nullement en 
contradiction avec le théorème de Liouville (**), d’après lequel 
l’équation de Riccati (et, par conséquent, aussi sa transformée 
linéaire/du second ordre) ne peut être intégrée exactement que 
dans des cas limités. Liouville attribue ici à l’intégration exacte 
un sens qu’il définit parfaitement, mais qui n’est pas le sens 
ordinaire de cette expression. 
Dans tous les Traités de Calcul intégral, sans exception, on 
considère une équation différentielle comme intégrée exacte¬ 
ment (***) lorsque son intégration peut être ramenée à une suite 
d’opérations d’ordre inférieur, telles que des quadratures, des 
éliminations, des résolutions d’équations ordinaires (c’est-à- 
dire sans dérivées), des intégrales définies. On suppose effec¬ 
tuées toutes ces opérations accessoires, bien que leur exécu¬ 
tion puisse être très difficile et quelquefois impraticable. 
Liouville, au contraire, exigeait que toutes ces opérations 
fussent réellement exécutables, n’admettait de quadratures non 
(*) « Résumer el coordonner les recherches qui ont été faitessur l'intégration 
des équations linéaires du second ordre, à deux variables, et compléter cette 
théorie, ou tout au moins la faire progresser, par des recherches originales. » 
Bull, de l'Ac., 5 e sér., t. V, janvier 1883, p. 16. 
(**) Liouville, Journal , t. VI; Gexocchi, C. R. de l'Ac. des sc. de Paris, 
t. LXXXV, p. 591. 
(***) Par opposition à l’intégration approximative, au moyen des séries, ou 
de la substitution de différences finies aux différentielles. 
