Théorème II. — On pourrait intégrer toutes les équations 
linéaires du second ordre, si l’on savait déduire l’intégrale de 
l’équation 
r~V' = x 
des deux intégrales, supposées connues, de ces autres équa¬ 
tions : 
y-iy" = X-HÜ, 
y~ l y" = X-t-kU. 
(X est une fonction quelconque de la variable indépendante 
x y U une fonction déterminée de la même variable, k une 
constante déterminée ; c’est-à-dire qu’il faut savoir résoudre le 
problème pour toutes les formes possibles de X, mais qu’il suffit 
de savoir le résoudre pour une seule forme déterminée de la 
fonction U, môme une constante différente de zéro ; et aussi 
pour une seule valeur déterminée de k , autre que 0 ou 1. 
Si k ou U (supposée constante), ou les deux constantes k et U, 
conservent leur forme littérale, on doit admettre que la fonc¬ 
tion quelconque X contienne ces constantes; sans quoi, il suf¬ 
firait, pour résoudre le problème, de faire k = 0 ou U = 0.) 
Démonstration. — Il suffit de prouver que, moyennant la 
propriété indiquée dans l’énoncé, on saura aussi passer de 
l’intégrale de 
t~ 1 1" — ( 1 — k >z 
(où Z représente une fonction donnée de la variable indépen¬ 
dante z et t une fonction inconnue de cette même variable) à 
l’intégrale de 
t- l t" = z, 
car, alors, on pourra invoquer le Théorème I. 
Supposons donnée l’intégrale de 
t-H" ={[ — k)Z, 
et transformons cette équation en posant 
