( 14) 
Donc l’intégration de 
t-H" = (i —k)Z 
entraînerait celle de 
t-U" = z, 
et toutes les équations linéaires du second ordre deviendraient 
intégrables, en vertu du théorème I. 
Théorème III. — On pourrait intégrer toutes les équations 
linéaires du second ordre, si l’on savait déduire l’intégrale de 
l’équation 
<rV = x 
d’une seule intégrale particulière (supposée connue) de cette 
autre équation : 
r'i/'^x + r 1 u. 
(X est une fonction quelconque de la variable indépendante x, 
U est une fonction déterminée de la même variable; c’est-à-dire 
qu’il faut savoir résoudre le problème pour toutes les formes 
possibles de X, mais qu’il suffit de le résoudre pour une seule 
forme déterminée de U, même une constante, autre que zéro. 
Si U, supposée constante, conserve sa forme littérale, on doit 
admettre que la fonction quelconque X contienne la lettre U, 
sans quoi il suffirait, pour résoudre le problème, défaire U=0.) 
Démonstration. — Soit à intégrer l’équation quelconque 
cl 2 y 
dx 2 
= y F(a?'. 
Substituons à y une fonction quelconque de x ; l’équation 
ne se vérifiera pas, mais nous obtiendrons, pour cette 
valeur w. : 
d 2 y, 
— = y t F(a?) -4- f{x). 
dx 2 
Nous connaîtrons donc nue solution de l’équation 
d*y 
— = yF{%) + fiP) 
