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Transformons cette dernière équation, en posant 
0C = f{u), 
i 
y = vf' 2 (u). 
On aura 
d 2 v 
du 2 
-[ 
«l mr+ir-v* 
rm 
• 
La fonction f est encore arbitraire. Déterminons-la par 
l’équation 
f' 2 Ÿ(f) — U(m) ? 
2 2 
p 3 (/’)r=u 3 u0- 
Cette équation s’intégre par deux quadratures, et on obtient 
ensuite la forme de f , en a, par la résolution d’un’e équation ne 
contenant plus de dérivées. Pour cette valeur de f, l’équation 
devient : 
v-^ = f (nrr~ i r + ‘iw; 
du* 4 2 
et on en connaît une solution, par l’intermédiaire de l’inté¬ 
grale particulière donnée des équations (6) et (7). 
Donc, d’après l’énoncé du théorème, on saura intégrer 
d 2 v 3 „ 1 
= p w , 2 + /- 2 r 2 - /-v"'. 
Or, celle-ci est précisément la transformée de l’équation 
d 2 y 
l^ =yF{x) ' 
à laquelle on ferait subir les mêmes opérations, avec la même 
valeur de f. Le théorème est donc démontré. 
