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3° Si ¥[x) est l’inverse d’une fonction paire p(x), par rapport 
à une fonction impaire quelconque i(x), c’est-à-dire si l’on a : 
F (p) — i. 
En effet, appliquant alors la transformation fondamentale, 
et remplaçant f par p , l’intégration de 
y" = y F(æ) 
dépendra de celle de l’équation 
d' 2 v 
-= v 
du 8 
F \p)p '' 2 
i[u)p ' 2 • 
Si, dans cette transformation, nous remplaçons u par — s, 
l’équation à résoudre deviendra : 
d*v 
ds 2 
i{s)p ' 2 -h —p ,— 2 p ,, “ — 
( 8 ), 
parce que tous les termes compris dans la parenthèse, abstrac¬ 
tion faite de —i(s), constituent des fonctions paires. Or l’équa¬ 
tion (8) est précisément celle à laquelle on serait arrivé en 
partant de 
et en posant : 
y"= — yF(x), 
X = f(s), 
y = vf'\s\ 
Le théorème est donc démontré. 
Examinons de plus près les cas dans lesquels la transfor¬ 
mation réussira par l’intermédiaire du théorème I. 
Tome XL. 
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