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La réciproque est vraie, c’est-à-dire que si les deux équations 
linéaires du second ordre 
-ît x _ 
49 ■- 
y’' = yF{x) 
+ ?(f, n r\ 
(13) 
• • (U) 
sont intégrables, l’équation non linéaire et d’ordre quelconque 
FV)f 2 = ?{f, f\ f ",.»).(15) 
sera elle-même intégrable. Mais il faut que, dans la seconde 
de ces équations, z puisse s’obtenir en f et en f ', la fonction f 
restant indéterminée. 
En effet, on aura alors, en posant 
ij — <p(x), x = f{u ), y = zf'-{u) : 
* = n 
et l’élimination de x, de y et de z entre ces quatre dernières 
équations donnera une résultante intégrable entre f et f'. 
Plus généralement encore, si deux des trois équations (13), 
(14) et (15) sont intégrables, la troisième l’est aussi. 
En nous bornant au théorème direct, voici quelques-unes 
des formes de y qui rendent l’intégration de (15) immédiate : 
réf,nO, 
fénunr, 
nn?ér\ n , 
?s(nrr", 
unr\ 
fi (f)UDf" 2 - 
g. Considérons la forme 
ax~- - 4 - ; 3 , 
où (3 n’est pas nul. Cette forme, d’après le théorème de Liou- 
(*) Pourvu que f ' ne disparaisse pas dans l’équation. 
