Emploi des produits des intégrales particulières. 
L’équation différentielle, qui a pour intégrales tous les pro¬ 
duits m km des intégrales particulières d’une équation linéaire 
du second ordre, est elle-même linéaire, parce que la somme 
de deux produits analogues est aussi un produit de même 
espèce; de plus, cette équation est de l’ordre m -+- 1 , parce que 
son intégrale doit renfermer m -+- 1 constantes arbitraires. 
Pour la trouver, on écrira la valeur du produit P m en fonction 
de deux solutions et y%, et de m — 2 constantes; on formera 
les m ■+■ 1 premières dérivées de P,„; on multipliera P, ?i , 
P' t ,... P m (,n + 1) respectivement par 1, q it ... q m+l ; on addition¬ 
nera ces produits entre eux et l’on déterminera les m •+-1 fonc¬ 
tions q^, ..., q m 4-1 de manière que la somme s’annule identi¬ 
quement. 
On trouve ainsi, sans aucune difficulté, l’équation linéaire 
ayant pour solutions les produits deux à deux des intégrales de 
. f+çi/ = 0 . ..(17) 
Cette équation est la suivante : 
l 
P 2 -4- 2 qq'~ *P 2 ' -4- - q'~ *P 8 '" = 0, 
m* 
ou : 
P 2 "' -t- AqV\ -i- 2g'P 2 = 0.. . (18), 
déjà obtenue et étudiée par Liouville (*). 
O Plusieurs des résultats cités dans ce paragraphe rentrent dans ceux aux¬ 
quels divers géomètres sont parvenus, généralement sous une forme diffé- 
