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Elle a pour intégrale (première) générale : 
P 8 ' 9 —2P a P," —4P a 2 ç = c 2 ; 
et, en faisant P «2 = w 2 , cette dernière équation se change en : 
c* 
u" -4 - au -i — u~ z = 0« 
4 
Ainsi, l’adjonction du terme complémentaire Çùr 5 trans¬ 
forme l’équation (17) en une autre, qui a pour intégrales toutes 
les moyennes proportionnelles entre deux intégrales particu¬ 
lières (égales ou inégales) de la première. L’hypothèse c — 0 
correspond évidemment au cas de l’égalité ou de la simple 
multiplication par une constante (*). 
Lorsque m est égal à 2, comme nous venons de le supposer, 
ou à une puissance de 2, on peut arriver d’une autre manière 
à l’équation différentielle dont P TO est une solution. 
A cet effet, on part de l’équation (17), où l’on remplace y 
par P^tT’ 1 ; on élimine ensuite y et ses dérivées entre l’équation 
ainsi obtenue, l’équation (17) et leurs dérivées en nombre con¬ 
venable. 
Ayant trouvé le résultat pour m = 2 et voulant passer à 
m= 4, on remplacerait P 2 par P 4 P ; T' : , puis l’on opérerait 
comme précédemment. 
Ce dernier calcul est déjà assez pénible, mais celui qui donne 
l’équation (18) est assez simple, et il a l’avantage de conduire, 
en passant, à la valeur de y, en fonction de P 2 et de ses déri¬ 
vées. En effet, on trouve immédiatement : 
d’où : 
L 
vy 
3 p.V ■P." n 
-n ——h q = 0, 
p s y -?2 
y — ue 
Vpo'S—2P 2 P*" — 4P.2 q 
2P 2 
‘ dx 
/ 
■p 2 -_ v/pj'ü-apsfa"- 
SPa 
dx , 
(*) Ce résultat est analogue à celui qui a été obtenu à la page 22; il est seule¬ 
ment plus complet. 
Tome XL. 
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