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On voit qu’il suffit de déterminer P d , Q d , P 2 , Q 2 par les 
équations (46) et (47), pour que l’équation à intégrer soit pré¬ 
cisément la résultante du système (40); pour résoudre le pro¬ 
blème, il est donc nécessaire et suffisant que ce système (40) 
soit intégrable. Donc, enfin : 
« S’il existait une condition d’intégrabilité 
F(P t , Q v P 2 , Q 2 ) = 0 
(48) 
telle qu’en la combinant avec les équations 
p 2 Qi = — k 
(fonction connue de x) on parvînt à déterminer les quatre 
fonctions P d , Q d , P 2 , Q 2 (dont l’une est d’ailleurs arbitraire), 
on saurait intégrer tous les systèmes d’équations simultanées 
analogues à (40) et toutes les équations linéaires du second 
ordre. » 
Il est facile de voir, d’abord, qu’aucune des conditions d’inté- 
grabilité connues ne satisfait à cet énoncé; ensuite, que ce 
dernier renferme, comme cas très particulier, l’énoncé auquel 
j’ai fait allusion précédemment. 
En effet, si F contenait et Q 2 autrement que sous la 
forme P| — Q 2 , on se donnerait P 2 au hasard, on détermine¬ 
rait Qj par l’équation (46), puis P, t et Q 2 par (47) et (48), les¬ 
quelles deviennent contradictoires si Pj et Q 2 n’entrent dans la 
condition d’intégrabilité que sous la forme P 4 — Q 2 . Si (48) ne 
contenait ni P d ni Q 2 , la solution serait plus facile encore (*). 
Il est essentiel d’observer aussi que, dans le nouvel énoncé, 
la forme F (P*, Q A , P 2 , Qg) peut contenir des dérivées et des 
intégrales (contrairement à ce qui était supposé dans l’énoncé 
primitif), pourvu qu’un choix convenable de l’une des quatre 
variables permette de déterminer complètement les trois 
autres. 
(*) Un autre cas remarquable serait celui ou la condition (48) ne contien¬ 
drait P 2 et Q, que par l’intermédiaire du produit P 2 Q t . 
