( 58 ) 
grand intérêt à pouvoir sommer la série en n’employant que 
des quadratures et des éliminations. 
Il ne serait pas même nécessaire de trouver la somme de la 
série (58), mais seulement une relation, en termes finis, entre 
cette somme et celle de l’autre série : 
a fl z 
%{x) — X 0 — -f X s — — 
1 1 « ^ 
aP 
<- !> PX P -pr- 
P 
( 61 ) 
laquelle est évidemment l’intégrale de 
X'(x) _ f"(x) 
X(x) o(œ) 
= X - a. 
En effet, il résulte encore du théorème II que si l’on pouvait, 
au moyen de cp et de ^, connaître %, on arriverait à la déter¬ 
mination complète de <p, de ^ et de ^ au moyen de X et de a, 
c’est-à-dire qu'on intégrerait toutes les équations linéaires du 
second ordre. 
Nous allons essayer, maintenant, d’appliquer à l’équation 
y' + y* = X .(62) 
nos théorèmes fondamentaux, en profitant des recherches qui 
ont été faites pour la détermination du facteur d’intégrabilité 
de cette équation. 
En adoptant comme facteur 
p 
?/ a -h 2Q y -f- R ’ 
où P, Q, R sont des fonctions de x , on trouve (*) que ces trois 
fonctions sont déterminées par les équations 
dP dQ 
0 , 2PR -+- 2PX — 2Q-1- 2P — = 0 , 
dx dx 
dP dR 
2PQX - R -j- P— = 0. 
dx dx 
(*) Lacroix, Traité du Calcul différentiel et du Calcul intégral, 2 e édition, 
t. II; Paris 1814; p. 277. 
dP 
2 p Q - — = 
dx 
