Malheureusement, les intégrales que l’on y considère sont 
prises entre 0 et go , ce qui peut rendre dans certains cas les dif¬ 
férentiations sous le signe illégitimes et les résultats illusoires. 
En posant : 
avec G 4 O 2 '= x, différentiant fois et admettant que l’équation 
résultante analogue à ( 66 ) se vérifie, l’équation (67) deviendra : 
On pourra donc poser : 
x 2 
2 u- 
u~ 
T 
et l’on sera réellement ramené à l’équation ( 68 ). 
Celle-ci étant supposée résolue, on connaîtra donc la forme cp, 
et il restera à déterminer les limites 84 et 8 ^, soit par la méthode 
précédemment indiquée, soit plutôt en reprenant tous les 
calculs avec la forme cp connue, et ne s’occupant plus que des 
termes complémentaires, en dehors de l’intégrale, termes dont 
l’ensemble devra s’annuler après la dernière différentiation. 
Il n’arrivera pas toujours que la détermination des limites 8 4 
et 0 2 puisse être conduite jusqu’au bout; aussi ne faut-il 
l’essayer que si la solution 
x' 2 
'2u' 2 i 
1 . 
4 5 % 
A 2 2 2 
1 =/*!< 
A•** T 2 
0 1 = 0 , 0 2 = 30 
donne des résultats illusoires. Dans le cas particulier traité par 
M. Catalan (*), on trouve 
p (a?) =x ,; . 
Le signe J disparaît donc dans la valeur de y, et il y a avan¬ 
tage à opérer directement, comme l’a fait ce savant analyste. 
{*) Bull, de l’Ac. roy. de Belgique, 5 e sér., l. XII (1886), pp. 21 et 22. 
