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Les deux fonctions cp et di peuvent être choisies au hasard, 
si l’on veut simplement ramener les intégrations indiquées 
dans (84) à de véritables quadratures. Mais si l’on veut, de plus, 
que l’équation résultante soit intégrable, il faut d’autres con¬ 
ditions. Nous imposerons à l’équation (84) la condition de ne 
plus contenir que deux variables : soit x et y, ou bien x et y', 
ou enfin y et y', et, pour simplifier encore, nous supposerons 
c = 0. 
Premier cas. x et y. La fonction qui doit être à deux variables 
seulement est la suivante : 
<P(x, ij, y', y ",...) 
On doit donc avoir : 
* 
y , y\ y ", •••) = y)%(x, y > y \*/"> •••), 
e^ x > y> y '• y " = <P 2 (x, y) x {x, IJ, y\ y ",...), 
d’où : 
-r^x ^ t -xÿ ÿz'-r-y' y "■+■ ^r,y" f H — 
3a? 3a; 3j/ Osy \ dy oy 
ÎZ , ^ 2 , . 3* / 3* „ 3* 
-1-v?/ -4- —11 -I- - il -A - 
0 . = 
d'r'i . ^ 
•+" b" 
3a; 3a? 
V*X 
W i , . 3* , 
^y-'+^Ly»' 
W Zy” 
VzX 
Second cas. æ et y'. Alors la fonction qui ne doit renfermer 
{p 
que deux variables est —*, et l’on doit avoir : 
ye 
'p = 'p 1 (v, y')x, 
=y~ l 'P 3 {x, y’)x, 
