Démonstration du premier théorème. — L’équation z" — zY{x) 
se transforme, comme on le sait, en celle-ci : 
=« | [r(«)] ! F[/'(«i] +r[n«)]- 2 [/'"<u)P - r)[^(u)]- 2 [/•"(u) , > (»> 
-1 [/'(«)]-*r («) J- ] 
Posons : 
On aura : 
« = cr (**)]* ; 
s- 4 ~ = k{k - 1) [f 4- k[f'(u)]- Y'"(u). 
En prenant 
* = 2 y -i. 
l’équation (a) pourra s’écrire : 
d 2 î> \ //c i\ \ cLH \ 
_ = „ | [WtAuJjH- (g-H-jm-W»)]*- j*j- - 
/'(m) est encore arbitraire. Déterminons-le par l’équation 
t/"(«)]*F[A«)] ^ -+- jj [/■'(«)]-*(/"(«)]* = 0, 
ou : 
r(«)F*rflu>] =\/ —5 — 7 [/’'(«)] ~ */"(«)- 
M 4 
Cette équation s’intégre une première fois par deux quadra¬ 
tures, et la résultante, ne renfermant que f(u) et f'(u), mais 
non la variable indépendante u , est encore intégrable. 
