Note sur la possibilité de réduire l'étude de toutes les équations 
linéaires du second ordre à l'étude d'une seule équation aux 
dérivées partielles (5 décembre 188o). 
Dans deux Notes antérieures (*), j’ai démontré, parmi plu¬ 
sieurs autres propriétés, celle que l’on peut énoncer ainsi : 
« L’intégration de toutes les équations linéaires du second 
ordre se ramène à savoir résoudre le problème suivant : 
On donne l’intégrale de 
-t- z* = X a (**), 
dx 
O) 
pour deux valeurs particulières, a± et a%, de a; trouver l’inté¬ 
grale de cette même équation pour a quelconque (***). » 
Considérons % comme une fonction de x et de a (ou y), de 
manière que l’équation donnée (1) sera remplacée par une 
équation aux dérivées partielles : 
y ; 
( 2 ) 
ou, si l’on différente par rapport à y : 
d ^ Z Os 
--- -t- 2s- = 1 
D#Dy Oy 
( 3 ) 
Supposons que l’on puisse découvrir l’intégrale générale de 
l’unique équation (3), laquelle ne contient plus de trace de la 
fonction spéciale X qui entrait dans (1). 
(*) Billets cachetés acceptés respectivement, par l’Académie, dans sesséances 
du 1 er avril et du 5 août 1882. 
(**) X représente une fonction quelconque de x. 
(***) Ou seulement pour une troisième valeur particulière de a; mais je ne 
pense pas que ce soit plus facile. 
Pour éviter le recours aux deux Notes antérieures, je reproduis plus loin la 
démonstration directe du théorème que je viens d’invoquer. 
