En remplaçant, dans cette intégrale, y par a, j’aurai une 
formule contenant comme cas particuliers (pour certaines 
formes des fonctions arbitraires qui y entrent) toutes les 
intégrales de (1). 
Pour déterminer les fonctions arbitraires, qui sont au 
nombre de deux au plus, je remplacerai a successivement 
par et par et comme, pour ces deux valeurs, les intégrales 
de (1) sont connues, on aura deux équations entre les deux 
fonctions arbitraires. 
Mais il faudrait connaître exactement la forme de l’intégrale 
pour décider si ces deux équations permettront de déterminer 
les fonctions par des opérations élémentaires. 
Dans l’affirmative, l’intégration de toutes les équations 
linéaires du second ordre serait réellement ramenée à la réso¬ 
lution complète d’une seule équation du second ordre aux 
dérivées partielles : l’équation (3) (*). 
On peut observer encore que les valeurs % et a% peuvent être 
choisies une fois pour toutes, par exemple, d’après la forme 
de l’intégrale de (3), de manière à simplifier les opérations 
ultérieures. 
ai et ne doivent pas varier avec X, dont la forme doit 
pouvoir rester quelconque. 
(*) A première vue, ou pourrait vouloir simplifier le raisonnement qui pré¬ 
cède, en considérant z, dans l’équation 
comme une fonction de x et de la constante arbitraire c (ou y). 
Diftêrentiant, par rapport à t/, il viendrait : 
3 2 S 
^x^y 
_ 3s 
-+- 2jz— = 0. 
ty 
Celte équation est plus simple que (5), mais en revanche on ne possède ici 
aucune ressource pour déterminer les fonctions arbitraires entrant dans son 
intégrale générale, sans retomber dans des intégrations aussi difficiles que 
celles de l’équation donnée. 
