SUR UNE FAMILLE DE SPHÈRES. 
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Il résulte de la définition précédente que les plans focaux de 
toute droite d’une congruence isotrope sont eux-mêmes iso¬ 
tropes, c’est-à-dire tangents à l’ombilicale, et qu’inversement, 
si les plans focaux de toute droite d’une congruence sont iso¬ 
tropes, la congruence elle-même est isotrope. 
De pareilles congruences sont caractérisées par les propriétés 
suivantes : 
1° Toutes les surfaces gauches élémentaires d’une congruence 
isotrope qui contiennent une droite D de cette congruence ont, 
sur cette droite, un même point central situé au milieu du seg¬ 
ment focal, et un même paramètre de distribution dont la valeur 
est égale au demi-produit de ce segment par l’unité imaginaire 
2° Inversement, si toutes les surfaces gauches élémentaires 
d’une congruence qui passent par une quelconque de ses droites 
ont, sur cette droite, le même point central, la congruence con¬ 
sidérée est isotrope. 
3° L’enveloppée moyenne d’une congruence isotrope est une 
surface minima. (On appelle enveloppée moyenne d’une con¬ 
gruence la surface enveloppe du plan mené perpendiculairement 
à chaque droite de la congruence et à la même distance des 
points focaux.) 
4° Réciproquement, toute surface minima est l’enveloppée 
moyenne d’une infinité de congruences isotropes. 
Dans ses leçons sur la Théorie des surfaces (l re partie, 
pp. 419 à 423), M. Darboux expose d’élégantes démonstrations 
des trois premières propriétés, et vérifie que la considération 
des congruences isotropes conduit au mode de génération des 
surfaces minima trouvé pour la première fois par M. Sophus 
Lie. 
Mais la proposition réciproque (4°), qui établit définitivement 
l’identité de la recherche des congruences isotropes et de la 
construction des surfaces minima, n’a été démontrée jusqu’à 
présent que par M. Ribaucour, à qui sont dues les propriétés 
précédentes. Cet habile géomètre a prouvé que la détermination 
des congruences isotropes, dont une surface minima donnée 
est l’enveloppée moyenne, est ramenée aux quadratures, en 
