SUR UNE FAMILLE DE SPHÈRES. 
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I. — Formules relatives aux congruences de droites perpen¬ 
diculaires aux plans tangents d'une surface donnée. 
7 . Soit D la droite de la congruence perpendiculaire au plan 
tangent de (0) au point 0. Supposons que l’on donne au point O 
un déplacement infinitésimal qui l’amène en 0', et qui est 
caractérisé par les accroissements du, dv. Le plan tangent en 
0' sera infiniment voisin du premier, et la droite correspon¬ 
dante D' de la congruence occupera de même une position 
infiniment voisine de D. A toute courbe de (0) issue du 
point O, correspond une surface gauche élémentaire contenant 
la droite D. 
Il s’agit, tout d’abord, d’étudier la variation du plan tangent 
à cette surface gauche aux différents points de D, d’en déduire 
la position du point central, la valeur du paramètre de distri¬ 
bution relatives à cette surface gauche, et de déterminer finale¬ 
ment, pour la droite D, les points et les plans focaux de la 
congruence. 
8. Soient Ç, yj les coordonnées instantanées du pied A de 
la droite D sur le plan tangent à (0) en 0. Les coordonnées 
d’un point quelconque M de D sont £, y), Ç, et la cote Ç varie 
seule quand le point M parcourt D. 
Sur D', M vient en M', en sorte que le plan tangent en M à 
la surface élémentaire considérée est AMM'. Désignons par 8 
l’angle que ce plan fait avec le plan ZOX. On aura évidem¬ 
ment : 
AY 
AX * 
La formule qui fait connaître la variation du plan tangent, 
pour la surface gauche élémentaire caractérisée par le rapport 
— , est donc la suivante : 
du 
du 
Tg e = 
( 
d‘q 
du 
1 df 
g dv 
- fDZj + dv { 
J ^ dv 
+ J d^ 5 + ^ 
du ( r + < Ê + lZ' ri + n ) + clv ( 
dJ 
dv 
1 dg 
f du 
n 
— g^i 
