SUN UNE FAMILLE DE SPHÈRES. 63 
imaginaires, qui sont développables. On obtient les valeurs du 
rapport — qui leur correspondent, en exprimant que la va- 
du 
leur (1) de Tg 0 est indépendante de Ç, ce qui donne les équa- 
tions : 
f ( 
f dt) Idg \ 
dv^ f du *) 
| 4- du | 
fdri 1 df \ 
\du g dv / 
(4) Tg 6 < du 1 
/ _ Qdi 
\ P di 
(, , dÇ , 1 df \ 
\ du g dv V 
; — fDdu 
i — gDdv ' 
1 + dv | 
(d'q Idg \ 
Kdv f du ^) 
La dernière de ces équations, qui est homogène et du second 
degré par rapport à du et dv , fera connaître les deux directions 
que l’on doit suivre sur (O) pour que les surfaces gauches de 
la congruence qui leur correspondent soient développables. 
Cette équation est donc l’équation différentielle des traces, sur 
(O), des surfaces principales de la congruence, lesquelles for¬ 
ment ainsi deux familles. 
dv 
Si l’on élimine le rapport — entre les équations (4), on 
(Jjil/ 
obtiendra une équation du second degré en tg 6, savoir : 
(5) 
Tg 2 e[p (’— — \ ~r~ r i) —é® (f+ir + -%■*) 1 
L \dv f du ) \ du g dv J J 
i+ T g«r Q ^+^+-^Vp^+^+ 1 —? 
j-r g L 'V ' du ' g dv 7 \ dv / du 
| ^\du g dv^) \ 
d^z 
dv 
1 dg 
J du 
+ 
P>(o + 
dv f du 
0 —Q (î L- “? ç ) 
/ \du g dv ) 
0. 
Les racines de cette équation sont les valeurs de Tg 0 rela¬ 
tives aux plans tangents des deux développables de la con¬ 
gruence qui contiennent D, plans tangents qu’on appelle plans 
principaux de D. 
11. Les points focaux ou foyers de D sont caractérisés par 
