SUR UNE FAMILLE DE SPHÈRES. 65 
les plans tangents soient perpendiculaires individuellement aux 
droites D de la congruence proposée. 
Pour en déduire les éléments relatifs aux congruences iso¬ 
tropes, il faudra exprimer que les plans focaux sont eux-mêmes 
isotropes. On écrira donc que l’équation (5) est identique à 
l’équation 
Tg 2 0 + 1 = 0, 
qui détermine les plans isotropes parallèles à OZ, ce qui donne 
les deux conditions suivantes : 
( 8 ) 
°(' + £+ï£')--( 
a + —‘ 4- 
dv • f du 
0 
+ 
L \dw g dv / \dv f du / 
0, 
Qf-^5) + P 
\du g dv J \dv f du ) 
\ +D K f+ ^ + g 
1 df \ 
g dv v 
■ f ( n , dr i , ld & s 
+ f \ g + Tv r ?d^ z 
0' 
0 . 
A l’aide de ces relations, on démontrerait facilement les trois 
premières propositions du n° 2, et l’on trouverait en même 
temps, pour la cote du point central et la valeur du paramètre 
de distribution, communes à toutes les surfaces gauches élé¬ 
mentaires, les formules ci-après : 
\ du g dv J \du g dv ) 
P 2 + p D 2 
D 
X 
f + 
dÇ , 1 df 
,-df \i_ f { ,< dr ‘ 
+ ~dïy +f { 0+ dë + '?diïy 
du g 
(9) t 
ïO 
p _ 1 ^ \ _ o C 1 ^ _I A 
\dv f du y \du g dv y 
DlO/ 1 + W) 
O (g 
dr k 1 dg 
dv f du 
dv 
Q 2 + g’ 1 D 2 
Idg \ 
f du y 
8 e SÉRIE. — TOME XI. 
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