SUR UNE FAMILLE DE SPHÈRES. 69 
16 . La première solution correspond à l’équation suivante : 
d 2 \ 1 df d\ 1 dg d\ 
du dv f dv du g du dv ’ 
Pour l’interpréter, reprenons l’équation (5) qui détermine les 
plans focaux. Le coefficient de Tg 0 est nul, en vertu de la pre¬ 
mière des équations (13), et si l’équation écrite ci-dessus est 
satisfaite, on vérifie immédiatement qu’il en est de même des 
autres coefficients. Donc, la solution considérée correspond au 
cas où les plans focaux sont indéterminés pour toute droite de 
la congruence. Gela ne peut avoir lieu que si la congruence est 
formée par des droites issues d’un point fixe. Pour qu’il en soit 
ainsi, il est nécessaire et suffisant, comme on sait, que les 
sphères coupent orthogonalement une sphère fixe, auquel cas 
leur enveloppe est une surface anallagmatique. Nous pou¬ 
vons mettre de côté cette solution qui ne fournit pas une con¬ 
gruence isotrope proprement dite. 
17 . La seconde solution donne la condition 
P * Q 
7 +- = 0 , 
f 9 
qui est indépendante de l’inconnue X et particularise, en con¬ 
séquence, la surface (O) lieu des centres des sphères. L’inter¬ 
prétation de cette condition résulte de ce que le réseau (u ), (v) 
est celui des lignes de courbure de (O), et que, par suite, 
f 
P 
et 
9 
Q 
sont les rayons de courbure principaux de cette 
surface au point O. La condition écrite ci-dessus exprime donc 
que la surface (O) est à courbure moyenne nulle, ou, ce qui 
revient au même, qu’elle appartient à la classe des surfaces 
minima. On peut dès lors énoncer ce premier théorème : 
Lorsque les cordes de contact d'une surface enveloppe de 
sphères forment une congruence isotrope, le lieu des centres 
de ces sphères est une surface minima. 
Il n’est pas certain, toutefois, que de pareilles enveloppes de 
