SUR UNE FAMILLE DE SPHÈRES. 71 
on voit qu’il suffit de prendre, au lieu de u et v, les nouvelles 
variables et , définies par les équations 
U du 2 — du { 2 , Vdv 2 — dv x 2 , 
pour que la valeur de ds 2 prenne la forme annoncée 
ds 2 — ( du x 2 + dvy 2 ), 
sans que le réseau ait changé, puisque les variables u t et v t 
dépendent respectivement et uniquement de u et de v. 
En effaçant les indices, on aura donc 
ds 2 — ( du 2 + <^ 2 ) •> 
( 14 ) f~g-D~K 
Il reste encore à exprimer que la troisième des équations de 
Godazzi est satisfaite, ce qui donne : 
ri 2 d 2 
^ 2D + ^ lo s D + ^ lo * D = 0 - 
Cette équation s’intégre immédiatement, sous forme finie expli¬ 
cite, au moyen d’un changement de variables. 
Posons, conformément à la méthode générale : 
u 4- iv ~ a , 
m4^-Pî 
(i=f=ï) 
a et p étant, par suite, les paramètres des lignes de longueur 
nulle de la surface (O). Par cette substitution, l’équation (15) 
devient l’équation de Liouville : 
d 2 
dad$ 
(17) 
log D z= 
D 
2 ’ 
