SUR UNE FAMILLE DE SPHÈRES. 
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On intègre l’équation (20) au moyen de la substitution dont 
il a été fait usage pour l’équation (15). Cette substitution (16) 
transforme l’équation (20) dans la suivante : 
( 21 ) 
On en déduit : 
d 2 \ _ 1 
dcL d$ 2D * 
( 22 ) 
+ A t + B t 
et Bi étant des fonctions arbitraires des variables a et 8 
respectivement. 
Au point de vue analytique, la question est, par suite, résolue 
et ramenée aux quadratures. Donc : 
Réciproquement , toute surface minima est le lieu des cen¬ 
tres d’une infinité de systèmes de sphères dont les cordes des 
contacts avec les surfaces enveloppes correspondantes for¬ 
ment des congruences isotropes, et Vexpression générale des 
rayons de ces sphères contient deux fonctions arbitraires . 
20 . La valeur de X étant connue, on pourra calculer les coor¬ 
données instantanées £ et y; du pied A de la corde D joignant 
les points de contact de la sphère de centre O (19). 
Enfin, les formules (9) et (10) détermineront, pour chaque 
droite D, le point central et le paramètre de distribution. 
On trouve, après réduction, les résultats suivants : 
(23) 
(24) 
/ d 2 \ 
\dudv 
+ 
1 OD d\ 
+ 
1 dD d\ 
p — 
2D du dv 2D dv du 
2 L du 2 ' D du du dv 2 D dv dv. 
)• 
Quant aux points focaux, leurs cotes sont égales à 
?0 ± Vi , 
comme l’indique la théorie des congruence isotiooes (n° 2) et 
comme le montrerait l’équation (7) du n° 11. 
