SUR UNE FAMILLE DE SPHÈRES. 
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22 . L’équation 
du 2 d 2 v 
à laquelle satisfait la différence a — X t de deux solutions quel¬ 
conques de (20), est aussi celle que l’on trouve dans la recherche 
des surfaces admettant la surface minima (O) pour développée 
moyenne, en appelant développée moyenne d’une surface quel¬ 
conque l’enveloppe des plans menés perpendiculairement à 
chaque normale de la surface proposée et à la même distance 
des centres de courbure principaux situés sur cette normale. 
Voici comment on peut établir l’identité des deux problèmes. 
Désignons par £' la distance au plan tangent de la surface (O) 
en O, du plan tangent parallèle P d’une deuxième surface (M), 
que nous supposerons d’abord quelconque et que nous déter¬ 
minerons ensuite de façon qu’elle admette (O) pour développée 
moyenne. 
Les coordonnées du point de contact du plan P, c’est-à-dire 
du point M de (M) qui correspond au point O, seront désignées 
par y)', ç', et il s’agit, en premier lieu, de déterminer r/ 
en fonction de Ç' et des données relatives à la surface de réfé¬ 
rence (O). 
Ce point de contact M doit être tel que lorsque le point O se 
déplace sur (O), M se déplace sur le plan P, ou, en d’autres 
termes, que la quantité AZ, savoir (A) 
AZ = ■ du (£ + D *"') + dv (ir + dI? ') ’ 
soit nulle pour toute valeur de du et dv. On a donc : 
dv 
-ÉC 
du ' 
Ces valeurs de P, r/, jointes à celle de £', sont les coordon¬ 
nées instantanées du point M de la surface (M) qui correspond 
(27) 
Ç' = — D 
I r{ = - 
D 
