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MÉMOIRES. 
au point O de (O), dans le cas où la loi de correspondance est 
celle du parallélisme des plans tangents. 
Proposons-nous maintenant de déterminer les centres de 
courbure principaux de (M) au point M. A cet effet, il suffit 
d’observer que la normale à (M) en ce point étant parallèle à 
OZ, les centres de courbure principaux cherchés sont les points 
focaux de la congruence formée par ces normales, de telle sorte 
que les cotes de ces points seront les racines de l’équation (7), 
où, après avoir introduit les valeurs de P, Q, /*, on rempla¬ 
cera V et r/ par les valeurs écrites ci-dessus. On parvient ainsi 
à l’équation 
«•> Di? +(S+55) t + H =»- 
où l’on a posé, pour abréger, 
/I 
D 
H= — 
X 
IY 
1 dD dCJ 
1 dD d% y 
\dudv 
2D du dv 
2D dv du ) 
( 
Veto 2 
cK_ 
du 2 
cPK' 
1 dD d'Ç , 1 dD dt! 
+ 
2D du du 2D dv dv 
1 <£D dÇ . 1 dD dÇ 
+ 
2D dv dv 2D du du 
) 
)]■ 
La surface (M) aura pour développée moyenne la surface (O) 
si les valeurs de ç fournies par l’équation (23) sont égales deux 
à deux et de signes contraires. La condition est exprimée par 
l’équation 
dK' 
du 1 
+ 
dX_ 
dv 2 
0, 
qui détermine la fonction inconnue XJ. Cette équation est la 
même que celle à laquelle satisfait la fonction \ — \ x , ainsi 
que nous nous proposions de le démontrer. 
La recherche des surfaces ayant une surface minima donnée 
pour développée moyenne dépend conséquemment des systèmes 
de sphères que nous étudions, et réciproquement la connais¬ 
sance complète de ces systèmes sera ramenée aux surfaces 
