SUR UNE FAMILLE DE SPHÈRES. 79 
ainsi obtenues. Nous obtiendrons, après quelques simplifica¬ 
tions, le groupe suivant : 
(38) 
d% d% _ 
d^ + d^ + 2lXo -° ’ 
2T)V _ a 
du 2 + dv 2 + ^ p “ ’ 
( 
1 dD dl o 1 dD dÇ ( 
+ 
du dv 
d 2 p 
D dv du D du dv 
(K o\ 
dv ) 
1 dD dp 
dv 2 D dt? du 
Vdu 
\ /d 2 j? 1 dD dp \ 
/ \dw 2 D du du) 
( 
2 
d 2 i? 1 dD dp 1 dD dp 
dudv J) dv du D du dv 
D 
-C 
0 *% p 1 riD Æ„ 
rft' 2 D d» dw 
\ /^o 
/ T W 2 
1 dD de 
D du du 
<Xo\ 
du ) 
= 2 , 
= 0. 
Telles sont les équations auxquelles doivent satisfaire des 
fonctions l 0 et p. 
25 . Un calcul analogue à celui de M. Ribaucour (7. c., pp. 40 
à 42) permettrait de démontrer que le système (33) admet un 
nombre infini de solutions, et que la solution générale dépend 
de deux fonctions arbitraires des variables a et p déjà em¬ 
ployées (n° 18). Mais ce calcul est inutile pour notre objet. 
Nous savons que le système (33) admet une infinité de solu¬ 
tions déduites des formules (23) et (24), où X désigne une solu¬ 
tion quelconque de (20), puisque ces équations fournissent les 
éléments d’une congruence isotrope remplissant les conditions 
dans lesquelles les équations (30) et (31) doivent avoir lieu, 
auquel cas les équations (33) qui en sont les conséquences sont 
aussi vérifiées. La question se réduit à prouver que les équa¬ 
tions (23), (24) et'(20) fournissent toutes les solutions du sys¬ 
tème (33). 
Soient donc Ç 0 et p deux valeurs vérifiant les équations (33). 
' La première des équations (33) peut se déduire de l'équation (28) 
en exprimant que la somme des racines est 2Ç 0 . 
