SUR UNE FAMILLE DE SPHÈRES. 
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ments que l’on doit donner au point O de (O) pour que les 
déplacements correspondants de G s’effectuent suivant les 
directions des lignes de courbure de la surface (C) au point G. 
(hlA) 
31. En éliminant le rapport entre les équations (43), on 
a d’abord 
/i + q*_ i 
\ l J ~ DW + «’ 
ou 
(44) 
Ri 4~ ç_ 1 
ç ± D ŸPi 2 4~ £i 2 
pour l’équation 
aux rayons de courbure principaux ç. 
Cette équation exprime que les deux centres de courbure 
principaux divisent harmoniquement le rayon OG de la sphère 
O. En outre, la cote Ci n’entrant que par son carré, on voit 
que les centres de courbure relatifs aux deux points corres¬ 
pondants C et G' de l’une et l’autre nappe de l’enveloppe sont 
symétriques par rapport au plan tangent à (O) en O. 
On peut dire encore que les enveloppes de sphères actuelle¬ 
ment considérées possèdent cette propriété que le conjugué 
harmonique d’un point quelconque de la surface, par rapport 
aux centres de courbure principaux situés sur la normale en 
ce point, appartient à une surface minima, qui est la même 
pour les deux nappes de l’enveloppe et qui se confond avec la 
surface lieu des centres des sphères. 
32. L’équation différentielle des courbes de (O), qui corres¬ 
pondent aux lignes de courbure de la nappe de (G) qui con¬ 
tient G, s’obtiendront en éliminant l entre les équations (43). 
On obtient ainsi l’équation 
(45) dv 2 -f2 ~ du dv — du 2 = 0 , 
qui caractérise les lignes de courbure cherchées au moyen des 
lignes correspondantes de (O). 
Ges dernières forment sur (O) un réseau orthogonal. Car le 
réseau (w), (t?), auquel O est rapporté, étant isométrique, le 
