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MÉMOIRES. 
rapport — est égal à la tangente de l’angle que fait le dépla¬ 
cé u 
cernent du point O avec OX, et, d’autre part, l’équation pré¬ 
cédente montre que le produit des deux valeurs de ce rapport 
est égal à — 1. 
Mais on peut aller plus loin et déterminer les directions des 
lignes de courbure elles-mêmes. Considérons, à cet effet, les pro¬ 
jections, sur le plan tangent à (O) en O, des déplacements du 
point C qui correspondent aux déplacements du point O définis 
par l’équation (45). D’une manière générale, on trouvera les 
A du point C en introduisant l’hypothèse l — 0 dans les 
valeurs trouvées pour le point Gf. On a ainsi : 
AX zz — D 2 (p t du + lydv ), 
AY — D 2 (ppiv — Çi du ). 
AY 
En faisant le produit des deux valeurs du rapport pour 
dv 
les deux valeurs du rapport —— fournies par l’équation (45), 
CajiAj 
on trouve aisément que ce produit est égal à — 1. De là décou¬ 
lent immédiatement les conséquence suivantes : 
1° Les directions des lignes de courbure au point C de (C) 
se projettent sur le plan tangent à (O) au point O suivant deux 
directions rectangulaires. 
2° La tangente en C à l’une des lignes de courbure est située 
dans un plan parallèle au plan tangent à (O) en O, et la tan¬ 
gente à l’autre ligne de courbure est dans le plan qui contient 
le point O et la corde D des contacts. 
Toutes ces propriétés conviennent au point de contact C' 
sur l’autre nappe. Mais les lignes de courbure ne se correspon¬ 
dent pas sur les deux nappes de l’enveloppe, car l’équation 
différentielle (45) change quand on remplace ^ par — 
Toutefois, les réseaux orthogonaux de (O) qui correspondent 
aux lignes de courbure des deux nappes de l’enveloppe coupent 
sous les mêmes angles les asymptotiques de la surface minima 
proposée, mais les sens de ces angles sont différents. 
