SUR LES LOXODROMIES. 
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tracées sur une surface quelconque S des trajectoires d’une 
autre famille de courbes tracées sur une surface S'. Si S' est 
un plan on retombe sur le cas traité par M. Molins. Quelle 
relation doit exister entre les surfaces S et S' pour que cette 
correspondance ait lieu? Telle est la question. 
M. August, dans son mémoire, étudie le cas où les surfaces 
S et S' sont de révolution; il montre que la solution de la 
question dépend d’une équation différentielle du premier ordre 
et il traite plusieurs cas particuliers intéressants. Il indique 
aussi l’extension que l’on pourrait faire de cette solution au 
cas des surfaces applicables les unes sur les autres, mais sans 
développer le sujet. 
Je me propose, dans cette communication de montrer, com¬ 
ment la méthode dé Jacobi conduit facilement et simplement à 
la solution complète du problème et le ramène à la recherche 
d’une intégrale complète d’une équation aux dérivées partielles 
du premier ordre. 
Considérons toutes les surfaces applicables les unes sur les 
autres qui sont telles que l’élément linéaire est représenté par 
la formule 
ds 2 =z f 2 du 2 + g 2 dv 2 . 
Supposons que l’on cherche la trajectoire d’un point matériel 
posé sur chacune de ces surfaces, ce point étant soumis à des 
forces satisfaisant à une fonction potentielle U de u et v. On 
sait que la solution de la question dépend de la connaissance 
d’une intégrale complète de l’équation aux dérivées partielles 
i /dvy 
P W) 
/DY\ 2 
W/ 
2 (U — h). 
Soit Y une intégrale complète qui contient, outre la cons¬ 
tante h , une nouvelle constante h , la trajectoire du point ma¬ 
tériel sera représentée par l’équation 
«)Y 
M 
b étant une nouvelle constante. 
8 e SÉRIE. — TOME XI. 
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