SUR LES LOXODROMIES. 
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il vient 
[F(w) - f(v)] sin 2 i - - f(v) + C , 
qui représente les lignes géodésiques tracées sur ces surfaces. 
On peut écrire cette équation sous la forme 
(13) sin 2 i F(w) + cos 2 i f(v) — G. 
D’une manière générale, toutes les fois que l’on pourra inté¬ 
grer l’équation aux dérivées partielles du premier ordre en Y 
et que l’on aura mis l’équation d’une courbe tracée sur la sur¬ 
face sous la forme 
dV „ 
on aura 
Da 
tg i = 
fdu 
gdv 
et, en différentiant l’équation de la courbe, 
3 2 Y 
’àct.'àU 
à 2 V 
du + -— r- dv — 0 ; 
oaov 
d’où, en éliminant — , il vient : 
dv 
(14) 
c) 2 Y . Î) 2 V 
g ■ ■ -— sm i + f z —r— cos i — 0. 
’ùolTïu 
C’est une autre forme de l’équation d’une courbe quelconque 
tracée sur les surfaces définies par l’équation (1). 
En particulier, si l’on fait dans cette dernière équation 
U = 0, on a une forme de l’équation des géodésiques tracées 
sur toutes les surfaces qui sont applicables les unes sur les 
autres. On trouve ainsi une généralisation de la forme de 
l’équation des géodésiques des surfaces quadriques trouvée par 
Liouville. 
