PROPRIÉTÉS DU LIEU DES CENTRES DE COURBURE. 481 
donc à cet autre énoncé du théorème : Une courbe gauche 
quelconque et le lieu de ses centres de courbure sont deux 
courbes telles que le rapport des cosinus des deux angles 
formés par la tangente de chacune d’elles avec le plan oscu- 
lateur de Vautre est égal au rapport de leurs angles de con¬ 
tingence. 
12. Le triangle sphérique que nous venons de considérer 
peut aussi servir à déterminer fort simplement l’angle de con¬ 
tingence e' du lieu des centres de courbure, en supposant qu’on 
ait trouvé préalablement l’angle $, ainsi qu’on l’a fait au n° 8. 
Il donne, en effet, 
cos c — cos a cos b + sin a sin b cos G, 
ou bien 
cos e' = cos (i + dï) cos (i -f- o>) + sin (i -j- di) sin (i -|- w) cos e. 
Mais on a, aux infiniment petits du quatrième ordre près, 
donc 
cos e m l — 
COS e' = 
1 
c'2 
«T w 
- / c-\ 
1 — ~ 2 ~- cos + dfy cos (*’ + w) + f 1 — ^ j sin (i -f- di) sin (i -f w) 
=z cos (i -f- di) cos (i —f- co) -(— sin (i -f di) sin ( i -J- w) 
E^ 
— — sin (i di) sin (i -f- w) 
/V 
S 2 
= cos (di — w) — J- sin (i -f di) sin (i + w), 
et, en négligeant dans ce résultat les infiniment petits d’ordre 
supérieur au second, 
e' 2 = (di — o)) 2 -f- e 2 sin 2 i , 
c’est-à-dire qu’on retrouve l’expression (71 de e' 2 , obtenue au 
n° 4 par une autre voie. 
8® SÉRIE. - TOME XI. i' 
