SUR UNE FORMULE DE CAUCHY. 
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SUR UNE FORMULE DE CAUCHY 
Par M. DAVID») 
I. — La formule fondamentale démontrée par Cauchy dans le 
célèbre Mémoire sur les intégrales prises entre des limites imagi¬ 
naires, et dont il a fait sortir successivement presque toutes les 
intégrales définies alors connues, et beaucoup d'autres qui ne 
l’étaient pas encore, cette formule, qui fut l’origine de la théorie 
des fonctions imaginaires et qui reste un événement dans l’histoire 
de l’analyse, bien que les progrès de la science lui aient enlevé 
une grande partie de son importance, est à la fois plus et moins 
générale que la formule qui l’a remplacée et dont on fait un usage 
si fréquent sous le nom de théorème de Cauchy. Je me propose de 
lui donner la généralité qui lui manque, sans lui ôter celle qu’elle 
possède en plus, tout en l’énonçant d’une manière plus brève et 
plus précise. 
Soient r), y{p, r), f(t) trois fonctions réelles des variables 
p , r, t , et p 0 , P, r 0 , R des valeurs réelles attribuées aux variables 
p et r. On a généralement : 
, R) + / -1 y.( p, K) 
p« 
î(p, »’«) + v" — 1 ï.(p, r «) 
d[<t( P, R) + / — l/(i>,R)3 
dp 
dp 
d [? (P ,r«) + V — I yjp , r 0 ) ] 
dp 
dp 
(1) Lu dans la séance du 1o janvier 1885. 
8« SÉRIE. — TOME VII, 1. 
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