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MÉMOIRES. 
R 
“ f 
?(p> r) + V — 1 x( p > r ) 
<%(P, r) 4- ]f — 1 x(P> ^)] 
dr 
dr 
r. 
R 
+ / f 
?(Po»0+V—1*ÜV) 
4f(Po>0+ /—lx(Poi^)] 
dr~\\ 
r „ 
A désignant une somme dont chaque terme est égal au produit de 
l’expression ± 2 t: / — 1 par l’un des résidus de /*(£) correspon¬ 
dants à celles des racines de l’équation 
duire de la formule 
1 
m 
— o que l’on peut dé- 
t — î(p, r) + Y — 1 */(P, O, 
en attribuant à la variable p des valeurs comprises entre les limi¬ 
tes p 0 , P, et à la varible r des valeurs comprises entre les limites 
r 0 , R. Ajoutons que dans l’expression ±2%/ — 1, le double signe 
doit être réduit au signe -f ou au signe —, suivant qu’il s’agira 
d’un résidu correspondant à une valeur positive ou négative de 
la différence 
df{P, r) dyjp, r) _ ritp(p , r) dy(p, r) 
dp dr dr dp 
Tel est l’énoncé donné par Cauchy de son théorème, énoncé que 
nous abrégeons en supprimant les cas particuliers où des valeurs 
de t coïncident avec les limites. On voit que les fonctions imagi¬ 
naires qu’il considère sont plus générales que celles auxquelles 
ce nom est donné aujourd’hui ; en effet, elles ne sont pas monogè¬ 
nes, c’est-à-dire qu’elles n’ont pas de dérivée unique, ou, ce qui 
revient au même, elles ne satisfont pas aux relations 
dy(p,r) __ d/lp,r) dyip, r) 
dp dr 1 dr 
d'/SP, r) 
dp 
ce sont, à proprement parler, de simples fonctions à deux varia- 
