SUR UNE FORMULE DE CAUCHY. 
195 
blés réelles réunies par le signe / — 1. Mais, d’un autre côté, les 
limites très particulières attribuées aux variables p et r restrei¬ 
gnent considérablement le théorème. — Sans admettre que les 
fonctions imaginaires sont monogènes, je vais démontrer le théo¬ 
rème pour des limites quelconques. 
Je remarque d’abord que la formule de Cauchy revient à un 
changement de variable indépendante dans une intégrale définie. 
Quand la différentielle est monogène, ce changement de variable 
se fait par la formule 
- - - f f{t)dt — - - - f f[W(z)]F'(z)dz, 
2*/ — 1 J 2tc/ — 1 j 
en posant t = F(^) ; et l’intégrale du premier membre étant prise 
suivant un certain contour, celle du second membre est prise 
suivant un nouveau contour qui se déduit du premier par l’équa¬ 
tion t — F(^). Il en résulte que le second membre de la formule 
précédente est égal, comme le premier membre, à la somme des 
intégrales prises suivant des contours infiniment petits décrits 
autour des points qui correspondent aux valeurs de pour les¬ 
quelles f(t) devient infinie dans le contour. Ce sont ces intégrales 
que Cauchy appelle des résidus. Mais, dans le cas actuel, on a : 
t — <p(p, r) + / — 1 y(p, r), 
fonction non monogène, et la nouvelle intégrale dans laquelle est 
transformée l’intégrale donnée est représentée par : 
( 2 ) 
2% Y — 1 
X 
, r) + Y — 1 y{p, r )j 
d[<i{P,r )+/—1 y.(p,r) ] d\y/{j),r) J rY—\y,{p,r)\ d: : 
dp 
dr 
Pour que cette expression ait un sens, il faut que r et p> soient 
liées par une certaine équation, que l’on peut supposer représen¬ 
ter une courbe donnée; et alors l’intégrale précédente est parfai¬ 
tement définie en disant qu’on la prend suivant cette courbe ou 
une portion de cette courbe, le mouvement ayant lieu dans un 
sens déterminé. Nous verrons que la formule de Cauchy revient 
