SUR UNE FORMULE DE CAUCHY. ' 199 
Ja somme des intégrales relatives à des contours infiniment petits 
décrits dans le même sens autour de ces points. 
Ce sont les théorèmes connus dans le cas des fonctions imagi¬ 
naires monogènes, dont nous avons parlé au commencement de 
ce paragraphe; et nous pouvons maintenant les appliquer à l’in¬ 
tégrale (2), quoique la différentielle de celle*ci ne soit pas mono¬ 
gène. 
III. — Il résulte, de la dernière proposition énoncée ci-dessus, 
que, pour faire la démonstration du théorème de Cauchy, il suffit 
de considérer un contour autour de l’un des points pour lesquels 
la fonction f(t) devient infinie, en prenant ce contour aussi petit 
que l’on voudra. Désignant alors par F(£) une fonction qui ne 
devient pas infinie dans ce contour, et par z la valeur de t pour 
laquelle la fonction proposée devient infinie, on a : 
f(t)= 
m 
(t — z) m 
m 
m étant un nombre entier et positif; et l’intégrale (2) devient : 
1 
(P, r) + / — 1 /.(p, r) J 
2v.-\[ — ] 
Lf(P>r) — <fOi p ) + / — 11 7.(P, r) — /.(s, p)] 
| x + / — 1 /.(P, r)} 
m 
dp + d[?(P,Q+ /— dr 
dp " ‘ dr 
\ 
en posant, pour plus de régularité dans les notations : 
£ = <p(&* p) + V — 1 yic> p) • 
L’intégrale ne change pas de valeur avec le contour fermé sui¬ 
vant lequel on la prend, pourvu que ce contour soit suffisamment 
petit. Nous pouvons donc déterminer ce contour en posant : 
. __ P v /_ =T 
(8) çüp, r) — «p((j, p) + / — 1 |jf(iL r) — %(<s 9 p)] = Re , 
et supposant que R est une constante aussi petite qu’on Voudra. 
Il en résulte : 
R2 = bip,r) — ?(«, p)]* + [/ip, r) — 7.(5, p)] 2 , 
(9) 
