équations Canoniques. 173 
La méthode précédente montre que l’on trouve l’arc s par une 
simple quadrature. 
Application au cas où le fil est assujetti à rester sur une surface 
donnée, en faisant abstraction du frottement . 
L’équation aux dérivées partielles, dont dépend la solution du 
problème, est la même que celle que l’on obtiendrait en étudiant 
le mouvement d’un point matériel, dans le cas où la puissance 
vive serait représentée par (U — h) 2 . 
Or, nous avons vu que dans ce cas, si l’on rapporte la position 
du point mobile à un système de coordonnées curvilignes u, v, w, 
qui sont les paramètres de trois surfaces orthogonales, et si le 
carré ds 2 de la distance de deux points infiniment voisins est 
ds 2 = f 2 du 2 + g 2 dv 2 + k 2 dw 2 , 
/*, g , k étant des fonctions données de u , v , w, le premier mem¬ 
bre de l’équation ( 5 ) prend la forme : 
1 d\ T2 l dW 2 l dV 2 
T 2 du 2 + g 2 dv 2 + k 2 dw 2 ’ 
et l’équation aux dérivées partielles devient : 
1 dV 2 
f 2 du 2 
L 1 dV 2 1 dV 2 
Dans le cas où l’on étudie le mouvement du point, ou bien dans 
le cas où l’on pose le fil sur la surface w = const., l’équation pré¬ 
cédente devient : 
1 dW 2 
f 2 du 2 
l^dV 2 
g 2 dv 2 
(U — h ) 2 . 
On arriverait d’ailleurs à cette forme par les formules ordinaires 
de transformation des coordonnées rectilignes en coordonnées 
curvilignes. 
Cas d'un fil posé sur une sphère. 
En prenant les coordonnées sphériques ordinaires, on a : 
ds 2 ~ r 2 d§ 2 + r 2 s in 2 0 d^ 2 . 
