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MÉMOIRES. 
Équilibre d’un fil posé sur une surface hélicoïde réglée quelconque. 
L’hélicoïde réglé est la surface engendrée par une droite qui 
tourne autour d’un axe de façon que chacun de ses points décrive 
une hélice de même pas ayant pour axe commun l’axe donné. 
Si l’on considère un point de la génératrice, ce point reste tou¬ 
jours h la même distance de l’axe, puisqu’il décrit une hélice 
sur un cylindre ayant pour axe l’axe de la surface. En particulier, 
le pied de la perpendiculaire commune à l’axe et à la droite décrit 
une hélice située sur un cylindre, tel que la droite mobile lui est 
constamment tangente, et, par suite, la surface hélicoïde lui est 
aussi également tangente; c’est le noyau de la surface. 
Prenons pour plans de projection un plan perpendiculaire à 
l’axe (plan horizontal) et un plan parallèle à l’axe (plan vertical) 
qui coupe le premier suivant une droite LT. Soit O la projection 
de l’axe, OP la plus courte distance entre la droite et l’axe. Pre¬ 
nons pour axe des Z l’axe lui-même, pour axe des X une paral¬ 
lèle et pour axe des Y une perpendiculaire à la ligne de terre. 
Soit un point de la droite qui se projette horizontalement en M 
et verticalement en M'. Supposons qu’on parte d’une position de 
la droite qui soit tangente en A à la circonférence OA zz R, 
R étant le rayon du noyau central. On amène la droite de sa 
position initiale à la position actuelle par une rotation w autour 
de l’axe et par un glissement. Les trois constantes qui déterminent 
la surface sont le rayon du noyau R, le pas commun de toutes 
les hélices h', l’angle constant b que fait la droite avec l’axe. 
Prenons pour coordonnées de la projection horizontale du point 
l’angle AOP = w, et la longueur MP = p. Dans la position 
initiale, la hauteur du point au-dessus du plan horizontal est 
p cotg b , soit § le glissement ; on aura ^ = — , d’où S = • 
Donc la hauteur du point au-dessus du plan horizontal dans la 
seconde position sera ~ + p cotg b , et on aura : 
x = R cos ti) — p sin o) 
2/ — R sin g) -j- p cos co 
+ p cotg b . 
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