ÉQUATIONS CANONIQUES. 
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Posons 
d’où 
ds 
— = ds 
v 
i ? 
(2) 
771 f 2 0710 2 
dsi 2 — —- du 2 + dv 2 — f t 2 du 2 -(- g ?dv 2 , 
2Ü 
2U 
f x et g i étant des fonctions données de u et de v. On sera ramené 
à la recherche du minimum de l’intégrale fdSi . Mais les équa¬ 
tions (1) et (2) définissent chacune une classe de surfaces applica¬ 
bles les unes sur les autres, et la recherche des brachystochrones 
sur les surfaces (1) se trouve ramenée à la recherche des lignes 
géodésiques sur les surfaces (2). 
Or on sait que la solution du problème des lignes géodésiques 
sur les surfaces (2) dépend de la connaissance d’une intégrale 
complète de l’équation de Jacobi : 
ou bien 
(3) 
1 rfV 2 1 dV* 
g}dv* 
: - 2 h 
5 
1 dV 2 1 dV 2 __ mh 
f 2 du 2 g 2 dv 2 ~ U 
Si U est constant on trouve les lignes géodésiques sur la sur¬ 
face, ce qui est évident a priori. 
% 
Application au cas des surfaces de révolution. 
On a : 
ds 2 = —ït. + > 
cos 2 0 
désignant l’azimuth d'un méridien quelconque, 0 l’angle de la 
tangente au méridien en un point avec le rayon du parallèle cor¬ 
respondant; 0 est une fonction de r . La formule précédente se 
déduira de la formule générale (1) en prenant u — r, v zr <p, 
g — r , f =z ' CO g ~Q • Nous supposons U fonction de r seulement. 
