182 MÉMOIRES. 
L’équation aux dérivées partielles devient dans ce cas : 
cos 2 0 
dV 2 1 d\ 2 __ mh 
dr 2 r 2 dÿ U 
On trouve sans peine l’intégrale complète suivante : 
V = a ? +fdr sJ , 
a représentant une constante. 
Les intégrales du problème sont, en désignant par g et t deux 
nouvelles constantes : 
g = 9 
r 2 cos 2 ü 
dr 
mh 
U cos 2 0 
cl* 
r 2 cos 2 0 
De la première, on tire aisément, en appelant i l’angle de la 
courbe avec le méridien, et en remarquant que l’on a : 
dr — cos 6 cos i ds , rdc — sin i ds 
a 2 _ mr 2 h 
sin 2 i ~ U ’ 
et comme mv 2 z= 2U 
. . CLV 
r sin i — -—— • 
m 
c’est l’équation des brachystochrones sur une surface de révo¬ 
lution trouvée par M. Roger (thèse). 
Corollaire . — Soit P la force qui sollicite le mobile ; le travail 
élémentaire correspondant est représenté d’une part par 
et d’autre part par P ds cos i ; d’où : 
dû 
dr 
dr , 
et 
^ , dU . 2 h . . . 
Pds cos i — — dr — — r sin i d(r sin i) 
dr 
CL* 
D . . 2 h 
P sin i — — 
a 2 
rsin 2 z d(r sin i) 
cos i ' ds 
i 
