ÉQUATIONS CANONIQUES. 
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Mais si l’on désigne par l g l’angle de contingence géodésique, 
on a, pour les surfaces de révolution : 
9 
_ d(r sin i ) _ ds 
lg 7 l 6l O g “ j 
r sin i l g 
p g étant le rayon de courbure géodésique. On aura donc : 
_ . . 2 h r 2 sin 2 i mv 2 
P sin i —■■ — -z=-. 
<*• Pÿ pÿ 
Cette formule conduit à un théorème analogue au théorème 
d’Euler pour les brachystochrones planes, et qui consiste en ce 
que la composante normale de la force est égale à la force centri¬ 
fuge. Dans le cas qui nous occupe, le rayon de courbure de la 
courbe est remplacé par le rayon de courbure géodésique. 
yyi'U 2 
Si l’on convenait d’appeler la quantité- la force centrifuge 
P(/ 
géodésique, on pourrait énoncer le théorème suivant : 
Théorème. — Dans les brachystochrones tracées sur une 
surface de révolution, la composante de la forcé suivant la 
perpendiculaire à la tangente menée dans le plan tangent 
est égale à la force centrifuge géodésique. 
# 
La méthode de Jacobi permet donc de déterminer les courbes 
brachystochrones dans tous les cas où l’on peut trouver une 
intégrale complète de l’équation aux dérivées partielles (3). On 
pourrait, en particulier, l’appliquer aux courbes tracées sur un 
ellipsoïde et sur les hélicoïdes réglés quelconques, et on remar¬ 
querait l’analogie complète qui existe entre ce problème et celui 
de l’équilibre d’un fil posé sur ces surfaces. 
Brachystochrones absolues. — Dans le cas où la brachysto- 
chrone n’est pas assujettie à se trouver sur une surface donnée, 
la méthode de Jacobi est encore applicable. En prenant toujours 
les coordonnées curvilignes u, v, w, on a : 
ds 2 = f 2 du 2 g 2 dv 2 + h 2 dw 2 , 
