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MÉMOIRES. 
La sphère est-elle la seule surface de révolution qui possède 
cette dernière propriété? Telle est la question que nous nous som¬ 
mes proposée. Nous allons donc chercher s’il n’existe pas d’autres 
surfaces de révolution pour lesquelles les trajectoires des méri¬ 
diennes sous un angle constant ont pour perspectives des spirales 
-logarithmiques. On verra qu’il existe une infinité de surfaces ré¬ 
pondant à la question et que leur équation s’obtient sous forme 
finie explicite; on remarquera, parmi ces surfaces, celles qui 
sont algébriques. On constatera d’ailleurs que le point de vue se 
trouve toujours sur la surface et que le plan tangent en ce point 
est perpendiculaire à l’axe, ainsi que cela a lieu dans le cas de la 
sphère; mais, sauf dans ce cas particulier, l’angle constant relatif 
aux trajectoires situées sur la surface n’est plus égal à l’angle 
constant relatif aux trajectoires planes correspondantes. On dé¬ 
termine enfin les rayons de courbure principaux des nouvelles 
surfaces et le lieu de leurs centres de courbure, ce qui conduit à 
plusieurs propriétés qui nous paraissent mériter d’être signalées. 
2. Pour abréger le langage, nous donnerons le nom de loxo¬ 
dromies aux trajectoires sous un angle constant des méridiennes 
d’une surface de révolution quelconque, ainsi qu’on le fait dans le 
cas de la sphère. Les axes des coordonnées étant supposés rectan¬ 
gulaires, l’équation d’une surface de révolution dont l’axe sert 
d’axe des z est de la forme 
z — f(œ 2 + y 2 ) ; 
<p est ici la fonction qu’il s’agit de déterminer d’après les condi¬ 
tions de la question. Si l’on désigne par p et q les dérivées par¬ 
tielles de z par rapport à a? et à y\ par <p' la dérivée de la fonction 
9 par rapport à x 2 + y 2 , il vient 
p — 2xÿ , q — 2yÿ . 
Comme la trace d’un méridien quelconque sur le plan des xy 
passe à l’origine O, les accroissements de y et z répondant à un 
accroissement dx donné à x dans la direction de la courbe méri¬ 
dienne seront 
y 
dy — - dx , 
x 
2y 2 
dz — pdx + qdy = 2 xddx + — y'dx 
_ 2(x 2 + y 2 ) 
y'dæ , 
x 
