DE LA DÉTERMINATION DES SURFACES DE RÉVOLUTION. 30! 
D’un autre côté, u t s’exprime en fonction de u et z par la for- 
cu 
mule ^ ; pourtant cette expression de u t dans l’équa¬ 
tion précédente, on obtient l’équation de la courbe méridienne, 
savoir : 
( 11 ) K(z-\-cY~ 
\chu -f \^c 2 h 2 u 2 -f c 2 (h 2 — \)(z + c) 2 ] h + 1 
u\chu +V c 2 h 2 u 2 -\-c 2 (h 2 — 1 )(z-\- c) 2 ~\-{-c(h— 1 )(*+ c) 2 
Si, au lieu de la formule (8), on se servait de la formule (9), le 
résultat serait : 
K (z+c)~ h =. 
{chu + y/çV< V + c g (ft a — !)(* + c) 2 ] 1 *_ 
u[chu + fj(ï+c) 2 ]+c(A+l ){z+cf 
Pour avoir l’équation de la surface de révolution, il suffirait de 
remplacer u par \/x 2 + y 2 dans l’une ou l’autre des équations 
(11), (12). On voit d’ailleurs que la surface sera algébrique 
toutes les fois que le nombre h sera commensurable. 
Il importe de remarquer que l’équation (12) se déduit de (11) 
en remplaçant dans cette dernière h par — h, c par — c, et 
changeant le sens dans lequel on compte les z positifs. On peut 
donc se borner à considérer une seule de ces équations. 
On notera aussi cette particularité que le point de vue S, dont 
les coordonnées sont u — o , z — — c, se trouve toujours sur 
la surface, ce qui revient h dire que la courbe méridienne passe 
en ce point. En effet, servons-nous pour déterminer cette courbe 
des équations 
t*[t 2 _ c 2 (h 2 — 1)] z + c _2h i h + 1 
t 2 + c 2 (/*— i) 2 ’ c ~~ TTt 2 + cVfc —l) 2 ’ 
D’abord, si h est positif, pour t — o on a u~ o, z + czzo. 
En second lieu, si h est négatif, avec la condition h + 1 > o, le 
numérateur t* + 1 sera d’un degré moindre que le dénomina¬ 
teur t 2 -f c 2 (h — l) 2 , et par conséquent u et z + c s’annule¬ 
ront en faisant t -oo; la même chose aura évidemment lieu 
si h est négatif et numériquement supérieur à l’unité. 
