302 
MÉMOIRES. 
La démonstration serait la même dans le cas où l’on prendrait 
pour représenter la courbe méridienne les équations 
_ T-^[r 2 — c 2 (7z 2 — i)] 
T 2 -f C 2 (ll + l) 2 
z+c_21i + i 
~c~ ~ ¥ t 2 + c\h + i) 2 ‘ 
Revenons aux formules (8), (9) et (10) par lesquelles u ei z -\-c 
s’expriment en fonction de x et qui contiennent une constante ar¬ 
bitraire K. Aux diverses valeurs attribuées à K répondront des 
courbes méridiennes homothétiques, car pour une même valeur 
de x les valeurs de u et z + c sont proportionnelles à celles de 
i , comme on le voit pour l’expression de ces deux quantités. 
Les surfaces de révolution elles-mêmes sont donc aussi homo¬ 
thétiques ; en outre le point de vue S est le centre d’homothétie. 
6. Les loxodromies se déterminent maintenant sans difficulté. 
dUi 
L’intégration de l’équation 
u t 
cot iù'dt donne 
log — — t cot a)' , 
9 
g désignant une longueur arbitraire; on en déduit, en exprimant 
en fonction de x par la formule (7) et remplaçant cot w' par 
COt O) 
: 
h x 2 — c 2 (h 2 — 1) 
t — -log-^-- . 
cot g) 2ghx 
On y joindra l’expression (8) ou (9) de m en x, et ces deux 
équations seront les équations en coordonnées polaires de la pro¬ 
jection d’une loxodromie quelconque sur le plan des œy, puisque 
u — \/œ 2 + y 2 et t zz.arctang ^ sont les coordonnées polaires 
d’un point quelconque de cette projection. 
7. Appliquons l’équation (12) au cas où l’on fait h — 1, d’où 
résulte o> = w'. Il vient : 
K^ + c)- 1 
ou bien 
u 2 -j- (z + c) 2 
2c[u 2 + (z + c) 2 ] ’ 
1 
2Kc 
Hc)zo, 
