MÉMOIRES. 
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ou bien 
Ç = 8c 2 m 3 + 9c 2 m£' 2 — c 2 (4m 2 + 3z' 2 ) ^4u 2 + 3.?' 2 . 
On fait prendre à cette équation la forme rationnelle en l’écri¬ 
vant ainsi 
fcy 3 
8m 3 + 9m^' 2 — v-, = (4 m 2 + 3a:' 2 ) 5 , 
i\C~ 
puis élevant les deux membres au carré, ce qui donne : 
( 
8w 3 + 9 m*' 2 — Q 2 = (4m 2 + 3*' 2 ) ! 
On voit alors que les termes indépendants de z' 2 se détruisent, 
de sorte que z' 2 devient un facteur commun; si on le supprime, 
l’équation s’abaisse au quatrième degré, et l’on trouve, en rédui¬ 
sant et ordonnant par rapport à z' 2 , 
( 1 O 1 \ ] A 
Z ‘ U ~ Kc 2 U ~ K^c 4 ) Z 2 Kc 2 U% — ° ‘ 
La courbe méridienne est donc une courbe du quatrième ordre, 
représentée par une équation bicarrée par rapport à z\ ce qui 
permettra d’exprimer z' en fonction de u. 
8. C’est en se donnant g> et g/ qu’on a déterminé les surfaces de 
révolution qui satisfont à la question. Mais il est essentiel de 
remarquer, relativement à chacune de ces surfaces, que les loxo¬ 
dromies qui coupent les méridiennes sous un angle donné autre 
que o) ont encore pour perspectives des spirales logarithmiques. 
En effet, les angles w et g>' n’entrent dans les équations de la 
courbe méridiennne que par la quantité h, qui représente le 
rapport C °^ ü) . ; d’où il résulte que, si en conservant à h la même 
COt G) 
valeur on remplace w et g/ par deux autres angles Q et Q' satis- 
cot Q 
faisant à la condition ——- = h , la surface de révolution res- 
tera la même et sera telle que les loxodromies coupant les cour¬ 
bes méridiennes sous l’angle Q auront toujours pour perspectives 
des spirales logarithmiques. En outre, l’angle Q' sous lequel ces 
