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Quadrangle isodynamique, 
32 . Lorsque quatre points A 4 , A 2 , A 3 , A* d’un même plan 
satisfont aux relations 
A 1 A i .A s A i = A,A 3 .A,A 4 = A t A 4 .A s A 3 = P, .... (9) 
nous dirons qu’ils forment un quadrangle isodynamique, de 
puissance P. Chacun des points A est un centre isodynamique 
du triangle déterminé par les trois autres. 
Un triangle A,A 2 A 3 a deux centres isodynamiques A 4 , Ai, qui 
ont des relations très simples avec deux autres points remar¬ 
quables déjà connus. Ces derniers sont les points d’où l’on 
voit les trois côtés de A,A 2 A 3 sous des angles de 120° ou de 60°; 
nous les appellerons centres isogones du triangle. 
Construisons sur les côtés de A,A 2 A 3 , extérieurement et inté¬ 
rieurement, six triangles équilatéraux A 2 A 3 X), A 2 A 3 Y,, A 3 A,X 2 , 
A 3 AiY 2 , A.,A 2 X 3 , A 4 A 2 Y 3 . Le premier centre isogone Z est situé 
sur les droites A t Xi, A 2 X 2 , A 3 X 3 et sur les circonférences 
A 2 A 3 Xj, A 3 AjX 2 , A,A 2 X 3 ; si les angles A 4 , A 2 , A s sont inférieurs 
à 120°, il tombe à l’intérieur du triangle et les angles A 4 ZA 2 , 
A 2 ZA 3 , A 3 ZA, sont égaux entre eux. C’est ce que nous suppo¬ 
serons pour fixer les idées. Nous ferons aussi 
AjX[ = AjXo = AjX. = AjZ -J- AjZ ■+• A 3 Z — sj 
on sait que Z rend la somme A 4 Z-t-A 2 Z-t-A 3 Z minimum (*). 
Le second centre isogone Z' est situé à la fois sur les droites 
A,Y„ A 2 Y 2 , A 3 Y 3 et sur les circonférences A 2 A 3 Y 4 , A 5 A 4 Y 2 , A 4 A 2 Y 3 . 
Dans l’hypothèse de (A 2 — 60°) (A 3 —60°) > 0, il tombe à finté- 
(*) Voir E. Catalan, Théorèmes et Problèmes, 6 e édition, pp. 5o et 228. 
Si A^t^O 0 , Z tombe dans l’angle opposé au sommet à A i A i A i . 
Le problème classique du point de la somme minimum des distances aux 
trois sommets d’un triangle demande, nous semble-t-il, un complément de 
solution : le point Z' peut rendre minimum la quantité A S M -+• A S M — A 3 M. 
