( M ) 
rencontrent la circonférence A 4 A 2 A 3 orthogonalement ; car les 
diamètres V 4 V' 4 , V 2 Vi, V 3 V 3 sont partagés harmoniquement par 
les côtés du triangle. 
Par conséquent, si v,, v 2 , v s , 0 désignent les centres des quatre 
cercles, les rayons i>,A 4 , v 2 A 2 , v 3 A- 0 touchent le cercle 0; les 
points v sont donc sur l’axe d’homologie du triangle A 4 A 2 A 3 et 
de son polaire réciproque B 4 B 2 B 3 par rapport au cercle 0. 
Mais cet axe est aussi la polaire du point de Lemoine K de 
A t A 2 A 3 ; de plus, la droite A 4 A' 4 , étant la corde commune aux 
trois cercles v,, lu, v 3 qui-sont orthogonaux au cercle 0, passe 
par 0 et est divisée harmoniquement par la circonférence A 4 A 2 A 3 . 
En résumé : 
Les trois circonférences qui ont pour diamètres les distances des 
points où un côté du triangle A,A 2 A 3 est rencontré par la bissec¬ 
trice intérieure et la bissectrice extérieure de Vangle opposé , se 
coupent aux mêmes points A*, Ai, centres isodynamiques du triangle. 
Ces points sont en ligne droite avec le centre 0 du cercle circon¬ 
scrit et avec le point de Lemoine K. A 4 et Ai, K et le milieu M de la 
distance A 4 A \ forment deux systèmes de points conjugués harmo¬ 
niques par rapport au cercle A 4 A 2 A 3 . 
*5, Soient N 4 , N 2 , N 3 les homologues de A,, A 2 , A 3 dans 
une transformation par rayons vecteurs réciproques, dont le 
pôle est un point quelconque A. Les triangles semblables AA 4 A 2 
et AN*N|, AA 2 A 3 et AN 3 N 2 , AA 3 A 4 et AN 4 N 3 donnent facile¬ 
ment (1©) : 
Ni 3» = N a N, == N«X, 
AjAg.AAj A g A -. A A 2 A-A,.AA 2 
Ainsi, si N 4 N 2 N 3 est le triangle formé par les inverses des som¬ 
mets d'un triangle A 4 A 2 A 3 , les côtés de ce triangle sont proportion¬ 
nels aux produits des côtés opposés du quadrangle AA 4 A 2 A 3 , A 
désignant le pôle d*inversion . 
Le pôle peut être dans le plan A 4 A 2 A 3 ou extérieur. Dans le 
dernier cas, les circonférences N,N 2 N 3 , A 4 A 2 A 3 sont des sections 
