( 47 ) 
sphère v u ont deux points communs A s , AJ qui appartiennent 
aussi à la sphère décrite sur V 4 V 4 comme diamètre et aux 
circonférences [3 2 , (3 S , intersections des sphères (i; 2 , v 6 ) et 
Viy t’g). 
Les sphères v sont orthogonales à la sphère O ; leurs centres 
sont à l’intersection de deux arêtes homologues des tétraèdres 
AjA 2 A 3 A 4 , B,B 2 B 3 B 4 et sont situés dans un même plan qui est 
à la fois le plan d’homologie des deux tétraèdres et le plan 
polaire de K par rapport à la sphère O. Il résulte de là que 
les points A 5 , AJ sont sur la droite KO perpendiculaire au plan 
iuv$v 6 , qu’ils sont symétriques-par rapport au pied M de KO sur 
ce plan, et conjugués harmoniques relativement à la sphère O, 
c’est-à-dire 
ok.om = oa 5 .oa’ s = r", ma 5 = ma; = |/ôm 2 — r*. 
Le point A s appartenant au cercle (3 4 , le tétraèdre A 5 A 1 A 2 A 3 
est isodynamique, et les droites A 3 A 4 , A 3 A 2 , A 5 A 3 rencontrent 
la sphère 0 aux sommets d’un triangle équilatéral NiN 2 N 3 . 
La même propriété subsistant pour les faces T 1? T 2 , T 3 , nous 
résumerons ainsi les résultats obtenus : 
Étant donnés un tétraèdre isodynamique A,A 2 A 3 A 4 et son 
polaire réciproque BjBJ^B ^par rapport à la sphère circonscrite O, 
les six sphères qui ont pour centres les intersections de deux arêtes 
homologues des deux tétraèdres et qui passent par les extrémités 
des arêtes opposées du premier tétraèdre, se coupent aux deux 
mêmes points A 5 , A 5 de la droite KO. Les droites qui joignent A 5 
i ou A;) aux points A 4 , A 2 , A 3 , A 4 rencontrent la sphère O aux 
sommets d'un tétraèdre régulier NiN 2 N 3 N 4 . Chacune des faces de 
A 1 A 2 A 5 A 4 forme avec A 5 [ou AJ) un tétraèdre isodynamique. 
43. On peut confirmer ces conclusions par une autre mé¬ 
thode. Tout quadrangle isodynamique, plan ou gauche, 
engendre, par inversion des sommets, un nouveau quadrangle 
isodynamique ( 86 ). Le tétraèdre isodynamique le plus simple 
est le tétraèdre régulier N 4 N 2 N 3 N 4 ; on peut le décomposer 
en quatre autres tétraèdres isodynamiques en joignant son 
